Введение
Согласно современным исследованиям, всё более негативное влияние на здоровье и самочувствие человека оказывают вредные вещества, находящиеся внутри помещений его среды обитания, — как жилых и общественных, так и производственных. В работах [1, 2] отмечается, что результативность персонала в помещениях с неэффективной вентиляцией снижается на 6% и более, кроме того, увеличивается число допускаемых ошибок. При этом потери, объясняемые снижением производительности труда из-за низкого качества внутреннего воздуха, зачастую могут превышать затраты на поддержание оптимальных или допустимых параметров микроклимата в рабочей зоне обслуживаемого помещения, а следовательно, данный аспект может являться определяющим при проектировании систем жизнеобеспечения зданий и сооружений всех видов назначения, как общественного, так и промышленного [1, 3].
Простое увеличение кратности воздухообмена не всегда приводит к значительному улучшению качества внутреннего воздуха в обслуживаемом помещении. Это объясняется присутствием инфильтрации наружного воздуха из зоны аэродинамической тени здания [2], а также возможным образованием застойных зон, возникающих вследствии турбулизации воздушных потоков внутри помещения со сложной конфигурацией [4, 5].
Для обеспечения требуемых параметров микроклимата в таких помещениях всё большее распространение получает вытесняющая вентиляция. Доказано, что вытесняющая вентиляция имеет ряд преимуществ по сравнению с перемешивающей. Главным принципом этого способа воздухораспределения является равномерная подача и удаление воздуха с низкими скоростями.
Эффективность подобных схем вентиляции увеличивается с повышением степени равномерности распределения воздушных потоков [4, 5].
Основной проблемой при проектировании вытесняющей вентиляции является сложная конфигурация помещений или наличие перегородок между ними. В этом случае необходим точный расчёт линий тока воздушных потоков, их направлений и скоростей. Для решения данной задачи широко применяется математическое моделирование.
Математическое моделирование скоростных, концентрационных и температурных полей является наиболее перспективным методом исследования распределения параметров микроклимата, влияющих на санитарно-эпидемиологические и технологические требования к внутреннему воздуху помещений. Оно позволяет сравнительно оперативно получать точные решения многомерных задач, а также выявлять влияние на полученные решения переменных теплофизических характеристик, граничных условий и продолжительности процессов.
Большие перспективы математического моделирования при развитии методов расчёта и проектирования систем кондиционирования воздуха и вентиляции отмечены в работах [5–8]. Наряду с прочим, в них рассматривались основные дифференциальные уравнения вентиляционных процессов. Зачастую для упрощения расчётов при практических работах становится возможным использование упрощённых моделей и зависимостей без ущерба для точности.
В результате упрощения математическая модель становится более удобной и доступной для исследования.
Из современных моделей и методов расчёта течений сред в большом диапазоне чисел Рейнольдса наиболее простой является модель, получаемая упрощением по малым параметрам в адаптированной системе криволинейно-ортогональных координат.
Исследование температурных, скоростных и концентрационных полей проводится в нескольких направлениях. При первом (дифференциальном) изучаются локальные характеристики воздушных потоков, при втором (интегральном) исследуются укрупнённые характеристики, которые относятся к общему объёму помещения или большим зонам этого помещении. Для получения более точных результатов возможно совместное использование дифференциального и интегрального подходов. Российскими учёными долгое время разрабатывался способ, основанный на методе позонных тепловых балансов, при котором помещение разбивается на зоны, параметры которых принимаются равными. Главной проблемой подобного метода является трудность обоснования разделения объёма помещения на зоны и установления коэффициентов теплообмена между ними. При этом зоны классифицируются в зависимости от взаимного расположения, типа разделения (сплошные стены, воздушные потоки), а также по санитарно-эпидемиологическим требованиям.
Для решения задачи построения полей скорости воздушных потоков, как правило, используются численные методы моделирования процессов газовой динамики [4–9], основанные на решении уравнений неразрывности и Навье-Стокса, осреднённого по Рейнольдсу. Исследование данных уравнений предполагает значительные объёмы компьютерных вычислений, погрешность которых может повлиять как на точность окончательной картины линий тока, так и на её качественный характер в целом. Как правило, используемые в данном случае математические модели изучаются с помощью численных методов. Представляется актуальным разработка таких моделей, которые будут максимально приближены к аналитическим решениям.
Широкое распространение в математической физике при решении задач аэродинамики малых скоростей, к которым относятся задачи вентиляции помещений, получили отображения, осуществляемые аналитическими функциями, или, что фактически то же самое, конформные отображения. Основной областью приложения конформных отображений является расчёт плоского гармонического векторного поля, под которым понимается поле, вектор которого параллелен некоторой плоскости Y. Причём его величина и направление одинаковы во всех точках любой прямой, перпендикулярной плоскости Y [12].
Основная задача теории конформных отображений заключается в построении функции, осуществляющей отображение одной области на другую. Поскольку для решения данной задачи не существует общего алгоритма, то развитие теории конформных отображений идёт в нескольких направлениях. Во-первых, выясняются общие условия существования конформного отображения и его единственности [13]. Во-вторых, устанавливаются различные частные классы областей, отображение которых можно осуществить с помощью комбинации простейших функций. В-третьих, на основании общих свойств аналитических функций производится изучение различных свойств конформных отображений в зависимости от вида отображаемых областей. В-четвертых, разрабатываются приближённые методы конформных отображений.
Решение рассматриваемой задачи расчёта полей скорости воздушных потоков в помещении с помощью теории функции комплексного переменного (конформных отображений) осуществляется в несколько этапов: построение линий тока воздуха и определение численных значений скорости воздуха. Рассмотрим каждый из этих этапов подробно.
1. Построение линий тока. Решение задачи построения полей скорости воздушных потоков на основе конформных отображений осуществляется в двумерной постановке. В связи с этим рассматриваемые помещения представляют собой прямоугольники со сторонами, параллельными осям абсцисс и ординат. Построение полей скоростей воздушных потоков в рассматриваемом случае осуществляется при переходе от полной системы уравнений Навье-Стокса (которая описывает движение воздушных потоков в помещении) к более простой системе уравнений Коши-Римана. При таком переходе должны выполняться условия несжимаемости среды и её безвихревого движения.
Согласно [12, 13], в данном случае компоненты вектора скорости движущихся воздушных потоков ωx, ωy образуют градиент некоторой потенциальной функции j(х, у):
Траектория движущегося воздуха или линии тока являются при этом линиями уровня ещё одной функции ψ(х, у), сопряжённой к функции j(х, у) [12]. Комплексный потенциал течения, функция (2) является при этом аналитической (голоморфной) функцией в некоторой начальной фигуре (помещении) [12]:
f(z) = j(z) + iψ(z); z = x + iy. (2)
Для производной f′(z) комплексного потенциала имеет место равенство:
f′(z) = ωx — iωy. (3)
При условии, что вектор (3) нигде в области первоначальной фигуры не обращается в ноль, отображение, осуществляемое функцией (2), является конформным в этой фигуре [12]. Таким образом, на начальном этапе главным является верное определение начальных граничных условий, в виде задания размеров, формы, наличия преград, места воздухозаборных и приточных устройств.
Для построения линий тока в исходном помещении необходимо ввести допущение о движении воздуха в фигуре, согласно которому, пользуясь симметрией помещения, можно считать, что линии тока распространяются симметрично относительно перегородки, из этого следует, что можно рассматривать лишь одну из двух половин фигуры. В свою очередь, принцип симметрии можно применять не один раз, повторяя при этом все преобразования прошлого этапа.
Общий принцип применения конформных отображений опирается на свойства эллиптического интеграла первого рода и обратной к нему функции, называемой эллиптическим синусом [3, 5–7, 12, 13]. Необходимо отметить, что эллиптический синус нельзя применять к прямоугольнику произвольных размеров, его необходимо подвергнуть растяжению (сжатию), чтобы он принял подходящий размер. На рис. 1 представлены основные схемы распределения воздуха в помещении и примерное развитие воздушных потоков в зависимости от расположения приточных и вытяжных устройств.
Рис. 1. Принципиальные схемы развития воздушных потоков при вытесняющей вентиляции
Для построения линий тока и последующего определения скоростей воздушных потоков в помещениях, приведённых на рис. 1, необходимо конформно отобразить исходную фигуру на «более простую», представляющую собой элементарный прямоугольник, в котором расположение входного и выходного отверстий системы вентиляции целесообразно располагать таким образом, чтобы они подсказывали «естественную» конфигурацию линий тока.
В рассматриваемом случае ограниченных фигур производится их отображение на горизонтальный прямоугольник, причём входное и выходное отверстия представляют собой правую и левую стороны этого прямоугольника, соответственно. Подробно преобразование исходных фигур в элементарную, с последующим построением линий тока, приводится в работах [3, 5–7]. Основные этапы преобразований сводятся к следующим пунктам: преобразование прямоугольника реальных размеров в прямоугольник, для которого существует решение при заданном параметре (таким образом, перед применением конформного отображения необходимо произвести расширение исходной фигуры); преобразование прямоугольника в полуплоскость под действием эллиптического синуса; преобразование полуплоскости в полуплоскость под действием дробно-линейного отображения:
преобразование полуплоскости в прямоугольник под действием эллиптического интеграла с параметром α:
Построение общего отображения производится в обратном порядке как суперпозиция простых отображений. Если помещения имеют более сложную конфигурацию, расчёт усложняется добавлением нового преобразования. Например, в случаях, представленных на рис. 2, необходимо повторно применить принцип симметрии или принудительно разбить исходное помещение на более простое.
Рис. 2. Схемы развития воздушных потоков при симметричном разделении помещений
Для наглядности конечный результат расчёта первого этапа для помещения, представленного на рис. 1а, можно представить с помощью пакета Maple (рис. 3).
Рис. 3. Построение линий тока с помощью пакета Maple
2. Определение численных значений скорости воздушного потока. Для определения численных значений скорости воздуха в конкретной точке помещения пользуются положением, которое гласит: производная комплексного потенциала является вектором, комплексно сопряжённым к вектору скорости [6, 7]. То есть при известном отображении помещения на полуплоскость касательные к линиям тока определяют скорость течения воздуха и вычисляются простым дифференцированием. Следовательно, при известном комплексном потенциале течения проекции скорости определяются по формуле:
где ωx — проекция скорости на ось Ох; ωу — проекция скорости на ось Оy; v — комплексный потенциал некоторого течения. Скалярная величина скорости воздуха определяется по уравнению:
Поскольку при построении линий тока воздуха в помещении используется описанное ранее отображение, скорость воздуха является произведением производных каждого шага преобразования:
ω = A1A2 … An, (8)
где А1, А2, Аn — производные функций на каждом шаге преобразования.
Методология математического и любого другого моделирования основана на изучении характеристик различных объектов с помощью исследования их аналогов.
Следует отметить, что математическая модель является идеализацией реально существующего объекта, она должна чётко отражать лишь наиболее важные черты исследуемого явления, второстепенные же воздействия во внимание не принимаются. В результате матмодель не в состоянии в полной мере описать все характерные особенности исследуемого объекта, поэтому чрезвычайно важно провести сравнение результатов численных и экспериментальных исследований, полученных при математическом или физическом моделировании, соответственно.
Следует отметить, что, поскольку с повышением скорости воздуха увеличивается турбулентность течения, математическая модель, основанная на теории конформных отображений, не всегда может адекватно описывать происходящие изменения и ограничивается некоторым интервалом чисел Рейнольдса.
Выводы
Описанный метод расчёта полей скорости воздушных потоков, основанный на теории конформных отображений, позволяет определять величины скоростей в любой точке исследуемого пространства, вне зависимости от его геометрических характеристик и точек подачи и удаления воздуха. Однако, из-за ограничений по числам Рейнольдса, для которых справедливы вычисления, а следовательно, и скорости воздуха, необходимо определить допустимый скоростной интервал, в пределах которого возможно применение теории конформных отображений для построения полей скоростей воздушных потоков в рассматриваемом типе помещений. На начальном этапе расчёта можно ограничиться условием безвихревого течения среды, что повышает вероятность более точного определения линий тока воздуха и скалярных величин его скорости.
