Рис. 1. Графики изменения температур tн и tв во времени
Снижение затрат энергии на обеспечение микроклимата в зданиях и сооружениях является актуальной проблемой. Ее рациональное решение может быть выполнено лишь на основе всестороннего анализа теплоэнергетического процесса, реализуемого в здании. В настоящее время активно разрабатываются способы экономии тепловой энергии, затрачиваемой на отопление, то есть на поддержание в зданиях комфортного теплового режима.
Грамотный научный подход к исследованию и оптимизации теплового режима возможен только на основе теоретического анализа закономерностей его формирования. Для решения этой задачи необходимо обладать информацией о динамике возмущающих воздействий, в частности, об изменении климатических факторов (температуры наружного воздуха, скорости и направления ветра, солнечной радиации и т.д.).
Кроме того, нельзя забывать и о значимости теплотехнических характеристик наружных ограждений, степени остекления фасада, числа людей в здании, а также заполнения мебелью и других факторов, оказывающих влияние на формирование теплового режима, а также управление им. Поэтому необходим синтез такой структуры математической модели, которая отражала бы динамику тепловых и температурных процессов в реальных условиях эксплуатации.
При этом одним из основных условий решения задачи отыскания структуры модели является учет теплоты, аккумулированной зданием, так как за счет этой теплоты при временном несоответствии теплопоступлений и теплопотерь возможно поддержание теплового режима здания в определенной допустимой области, которая вообще-то может совпадать и с зоной оптимальных параметров микроклимата. На основе построенной модели могут быть разработаны методы оптимизации теплового режима зданий.
Математические модели, детально учитывающие физику процессов и явлений, как правило, хороши для качественного анализа особенностей теплового режима. Для целей управления следует отдавать предпочтение более простым моделям, которые часто обеспечивают более экономичную и надежную систему управления с меньшей длительностью ее подготовки и освоения [1]. Например, в работах [2–5] авторы приводят модели теплового режима здания как объекта с распределенными параметрами.
Структуры этих достаточно детальных моделей содержат большое число коэффициентов, многие из которых могут быть определены на практике весьма приближенно. Из-за получаемой, как правило, низкой точности расчетов проблематичной становится разумность и целесообразность применения таких моделей. Кроме того, указанные модели достаточно сложны, определенные трудности возникают при их численном решении, а объем вычислительной работы часто делает невозможным использование этих моделей в режиме реального времени, как говорят «в темпе с процессом управления».
Поэтому для оптимального управления модель теплового режима можно попытаться построить в классе систем с сосредоточенными параметрами. При этом, безусловно, приходится использовать ряд допущений и предположений, к числу основных допущений можно отнести следующие:
- поверхности в помещении рассматриваются как изотермические без источников и стоков теплоты;
- температура воздуха постоянна в плане и по высоте помещения;
- источники и стоки теплоты в помещении являются сосредоточенными, что позволяет определять суммарный тепловой поток, поступающий в помещение, распределенный по поверхностям ограждений пропорционально их площади [1, 6].
Если для такой модели удовлетворительно решить задачу параметрической идентификации по экспериментальным данным или, как говорят, достаточно хорошо настроить модель на реальный объект, то точность расчета может оказаться сравнимой, и даже более высокой, чем при использовании сложных математических моделей, если в них не учтены реальные коэффициенты.
Таким образом, возникает задача идентификации в широком смысле слова: по результатам наблюдений над входными и выходными переменными системы должна быть построена оптимальная в некотором смысле модель, то есть математическое представление этой системы [7]. При этом, разумеется, необходимо учесть основные признаки, связи и закономерности, присущие объекту, и отбросить второстепенные признаки.
Влияние этих второстепенных признаков можно учесть при количественной настройке модели по экспериментальным данным. Как известно, задача построения математической модели обычно делится на две части: синтез структуры математической модели, а затем определение численных значений параметров математической модели. Решение первой части задачи приводится, например, в [8]. Согласно работе [8], структура математической модели теплового режима здания может быть представлена как:
где tв, tн — температура внутреннего и наружного воздуха, соответственно; k — коэффициент передачи по каналу «мощность системы отопления–температура внутреннего воздуха»; Тв, Тн — постоянные времени. При этом, согласно «физике» учитываемых явлений коэффициент k вычисляется по формуле:
где q0 — удельная тепловая характеристика здания; V — его объем. В случае работы [8] при решении задачи структурного синтеза получилось, что Тв = Tн, однако это достаточно плохо согласуется с некоторыми теоретическими рассуждениями и экспериментальными данными. Есть достаточные основания считать, что Тв ≠ Tн. Покажем это посредством решения задачи параметрической идентификации.
Если рассматривать режим охлаждения здания как отсутствие работы системы отопления по тем или иным причинам, то по экспериментальным данным можно найти только два параметра модели (1) — Tн и Тв, это наиболее удобный случай для решения поставленной задачи. Задачу параметрической идентификации в этом случае можно сформулировать как задачу отыскания таких числовых значений параметров Тн и Тв по экспериментальным данным tвэ, tнэ, при которых расчетные значения откликов модели наилучшим образом были бы согласовывались с экспериментально полученными данными.
В общем случае необходимость определения фактических значений постоянных времени Тн и Тв обусловлено тем, что теплофизические свойства ограждающих конструкций здания, а также коэффициенты теплоотдачи для наружного αн и внутреннего αв воздуха непостоянны и зависят от многих трудно учитываемых факторов. Поэтому эти параметры лучше всего определять по экспериментальным данным, а не аналитическим путем.
Для параметрической идентификации модели были взяты данные натурных наблюдений tв, tн при отключении системы отопления расчетного углового помещения на 17 часов (с 18:00 вечера до 10:00 утра), месяц наблюдения — февраль [9]. Данный временной интервал позволяет исключить влияние солнечной радиации на результаты эксперимента. Экспериментальные графики изменения температур наружного и внутреннего воздуха представлены на рис. 1. Эти экспериментальные кривые (на рис. 1) были аппроксимированы стандартным образом многочленами:
tн = 0,0039t 3 – 0,0716t 2 – 0,0426t – 16,832, (3)
tв = 0,0075t 2 – 0,57936t + 16,035. (4)
При этом среднее квадратичное отклонение расчетных (то есть найденных по формулам (3) и (4)) и экспериментальных данных для температуры наружного воздуха составило 1,391 °C, а для внутреннего — 0,482 °C. Так как опыт [10] проводился в режиме охлаждения помещения, то W0 = 0, и уравнение (1) приобретает вид:
Решение задачи параметрической идентификации модели (5) проводилось методом наименьших квадратов. Формальная запись задачи такова:
где τk — конечный интервал времени наблюдения. Была получена система линейных относительно искомых параметров Tн и Тв уравнений:
Подставляя в (7) эмпирические формулы (3) и (4), после соответствующих математических преобразований и упрощений в среде MathCAD получили систему уравнений вида:
Решая систему (8) методом Крамера, нашли, что Tн = 7,1 и Тв = 70,2 часов, что подтверждает ранее высказанные соображения. Далее, для большей скрупулезности рассмотрения вопроса оценили качество решения задачи параметрической идентификации (6): найденные численные значения постоянных времени Tн и Тв, а также эмпирическую функцию (3) подставили в исходную математическую модель (1). Полученное выражение имеет вид:
Решая уравнение (9) относительно tв, получили:
После этого нанесли на координатную плоскость (τ, tв) расчетную (10) и экспериментальную (4) кривые температуры внутреннего воздуха и получили картину, приведенную на рис. 2, из которой видно, что совпадение данных достаточно хорошее. Среднее квадратическое отклонение составило 0,664 °C, что позволяет утверждать: поставленная задача параметрической идентификации решена удовлетворительно.
Таким образом, параметрическая идентификация математической модели теплового режима здания по экспериментальным данным позволила убедиться, что действительно Тн ≠ Тв, более того, разность между этими значениями весьма значительна (Тв ≈ 10Tн). Итак, в данной работе посредством решения задачи параметрической идентификации уточнена структура математической модели теплового режима здания, другими словами — исправлена некоторая погрешность, допущенная при структурной идентификации модели из-за неполноты и приближенности анализа «физики» имеющих место явлений и процессов.
