Введение
В первой части данной работы [1] было приведено теоретическое обоснование возможности применения методов спектральной геометрии в гидродинамике. В настоящей (второй) части на основании этих соображений будет выведена общая формула для вычисления гидродинамического сопротивления каналов с постоянным сечением сложной формы. Основная цель данной работы — дать удобную для инженерных вычислений формулу, позволяющую находить сопротивление каналов с достаточной для практических задач точностью.
Предлагаемая формула получена с использованием теории уравнений Навье-Стокса и теории турбулентности Колмогорова, однако её вывод нельзя считать абсолютно строгим. Впрочем, несмотря на некоторые упрощающие допущения, принятые при выводе данной формулы, полученные с её помощью результаты вычислений хорошо согласуются со справочными значениями, приведёнными в [2]. Отметим также, что ряд вопросов (в частности, вопрос о классе каналов, для которых применим предлагаемый метод) ещё требует дальнейшего исследования.
1. Вычисление гидродинамических сопротивлений по данному методу
1.1. Предварительные сведения
Ввиду того, что в первой части статьи [1] были приняты некоторые упрощающие допущения (а именно: рассматривались граничные условия типа Дирихле и использовался спектр оператора Лапласа вместо спектра оператора Стокса), не стоит ожидать полного совпадения расчётных данных со справочными значениями.
Кроме того, следует учесть, что справочные данные также не являются абсолютно точными, поэтому отклонение расчётных данных от справочных в пределах 1–1,5% можно считать вполне приемлемым.
Рассмотрим семейство каналов
{Ωt}bt=a = {Ω~t × L}bt=a, L ⊂ R
с произвольными поперечными сечениями Ω~t ⊂ R2. Из данных первой части статьи [1] следует, что гидродинамические сопротивления таких каналов могут быть найдены по формуле:
?Pt = ?P*kt, (1)
где kt — некоторая константа, зависящая от геометрии канала, а ?P* — сопротивление канала круглого сечения.
Коэффициенты kt в настоящей работе предлагается рассчитывать по следующей формуле, единой для всех типов каналов:
Причём константа b определяется следующим образом:
где t — точка минимума изопериметрического дефицита для Ω~t, то есть
В приведённых выше формулах использованы следующие обозначения: |Ω| — площадь; |∂Ω| — периметр области Ω, а
ξ*,t = Σ∞k=1kk-1,71, (3)
где k — собственные числа оператора Лапласа области Ω*,t.
Пояснить смысл константы b можно следующим образом: Ω~t задаёт в некотором смысле оптимальное сечение для данного семейства каналов, и, если t = b, то значение b будет равно нулю.
Однако, если t ≠ b, то b будет учитывать отклонение Ω~b от своей оптимальной формы.
Следует отметить, что в приводимых ниже расчётах kt по формуле (2) размеры области Ω~t фиксированы, а размеры областей Ω~t и Ω~* получены из следующих уравнений:
|∂Ω~t|•|Ω~*|3 = |∂Ω~*|•|Ω~t|3,
|∂Ω~t|•|Ω~t|3 = |∂Ω~t|•|Ω~t|3. (4)
Размеры области Ω~t будут приведены в п. 1.2 отдельно для каждого канала.
В настоящей работе все расчёты приведены для каналов с длиной L = 10, и для первых двухсот собственных чисел оператора Лапласа для каждого канала. Размеры областей Ω~t также фиксированы. Естественно, возникает вопрос о том, можно ли применить предложенный метод для каналов Ωt других размеров. Известно (см., например, [3]), что при масштабировании любой области в R3 в K раз собственные числа оператора Лапласа этой области изменяются в 1/K2 раз. Это означает, что при масштабировании области Ωt в K раз значения ξt и ξ* в формуле (2) изменятся в 1/K2 раз, то есть значение kt в этом случае останется постоянным. Таким образом, предложенный метод применим при любом равномерном масштабировании области Ωt.
Естественно, возникает вопрос о применимости метода в случае, когда область Ω~t остаётся неизменной, а изменяется лишь длина канала L.
Подробное рассмотрение данного вопроса выходит за рамки данной статьи, однако ниже приведён краткий набросок доказательства применимости предлагаемого метода в этом случае.
Отметим сначала, что спектр оператора Лапласа для областей цилиндрического типа Ω~ × L имеет вид ji = 1j + 2i, где {1j}∞j=1 — спектр оператора Лапласа области Ω~, а {2i}∞i=1 — спектр отрезка L (подробнее см. [4]). Известно, что спектр отрезка при нулевых граничных условиях типа Дирихле имеет вид {2i} = (pi/L)2.
Рассмотрим каналы одного (произвольного) сечения, но разной длины: ΩA = Ω~ × L и ΩnA = Ω~ × nL (n ∈ R, n > 0).
Структура потока при увеличении длины канала не меняется, следовательно, можно ожидать, что будет иметь место линейная зависимость: ξ(ΩnA) = nξ(ΩA), где ξ(•) вычисляется по формуле (3).
Покажем, что ξ действительно почти линейно зависит от L (при L/|Ω| > 100 отличие зависимости ξ(L) от линейной составляет не более 0,5%, причём это отличие уменьшается с ростом L/|Ω|). Для анализа зависимости ξ от L рассмотрим полученные из (3) суммы вида:
a(ΩA) = ΣNjj=1ΣNi(L,j)[1j + (pi/L)2]
для канала ΩA и
a(ΩnA) = ΣNjj=1ΣNi(nL,j){1j + [pi/(nL)2]}
для канала ΩnA.
Отметим, что натуральные числа Ni(L,j) определяются из соотношения
Отсюда следует, что Ni(nL,j) = nNi(L,j), так как собственные числа m1j не зависят от длины канала.
Далее, известно, что для любого N:
поэтому при достаточно большом соотношении L/|Ω| [а, следовательно, при достаточно большом Ni(L,j)] будет справедливо следующее соотношение:
Таким образом, получаем:
для канала ΩA и
для канала ΩnA.
Откуда следует, что с достаточно высокой точностью можно считать ξ(ΩnA) = nξ(ΩA). Отклонение от точного равенства в данном случае объясняется тем, что выше мы положили N +1 ≈ N и 2N +1 ≈ 2N для достаточно больших N. Таким образом, все результаты п. 1.2 могут быть без изменения перенесены на случай каналов произвольных размеров.
Также отметим, что формула (2) справедлива лишь для течений с достаточно большим значением числа Рейнольдса (а точнее, для таких течений, для которых справедлив закон −5/3 А.Н. Колмогорова — см. формулу (3) в [1]), поэтому в следующем пункте сравнение проводилось со справочными данными для турбулентных течений, у которых число Re > 2000.
1.2. Результаты вычислений
Ниже приводятся результаты вычисления коэффициентов kt для различных типов каналов и их сравнение со справочными данными из [2]. Для каждого случая результаты представлены в виде таблицы, причём все таблицы имеют следующую общую структуру.
В первой колонке таблицы приведены значения параметра t (его значение описано ниже отдельно для каждого канала), во второй — значения коэффициентов kt, вычисленных по формуле (2), в третьей — значения коэффициентов, приведённые в справочнике [2] (обозначим их Kt), в четвёртой — значения отклонений
1.2а. Канал с сечением в форме эллипса. Рассмотрим семейство каналов:
{Ωt}1,0t=0,1 = {Ω~t × L}1,0t=0,1,
где Ω~t — эллипс, соотношение длин осей которого равно t. Значения длин осей при каждом t получаются из формулы (4), причём область Ω~t в данном случае является кругом единичной площади.
В данном случае a = 0,1, b = 1,0, и несложно проверить, что t = b, поэтому в формуле (2) b = 0. Следовательно, для данного типа каналов формула (2) принимает следующий вид:
Результаты расчёта kt по формуле (4) приведены в табл. 1.
Среднее отклонение расчётных значений от справочных данных (Σ6t=1dt)/6 составляет 1,6%. Следует отметить, что в справочнике [2] не приведены точные значения коэффициентов для каналов с сечением в форме эллипса, а указано лишь, что для них Kt ≈ 1,0. Естественно ожидать, что чем сильнее сечение канала будет отклоняться от круглой формы, тем менее точным будет соотношение Kt ≈ 1,0. Приведённые в табл. 1 данные вычислений это подтверждают.
Отклонение расчётных данных от справочных при уменьшении t также может объясняться тем, что периметр эллипса в формуле (4) рассчитывался по приближенной формуле, точность которой уменьшается при росте отношения длин осей эллипса. Таким образом, представляется, что в данном случае расчётные данные достаточно точно отражают физику процесса, и гидродинамическое сопротивление каналов с сечением в форме эллипса целесообразно вычислять по формуле (1) с использованием (5).
1.2б. Канал прямоугольного сечения. Рассмотрим семейство каналов прямоугольного сечения:
{Ωt}1,0t=0,1 = {Ω~t × L}1,0t=0,1,
где Ω~t — прямоугольник с соотношением длин сторон, равным t. Размеры сторон при каждом t получаются из формулы (4), причём область Ω~t в данном случае является квадратом единичной площади.
В данном случае a = 0,1, b = 1,0, и несложно проверить, что t = b, поэтому в формуле (19) b = 0. Следовательно, для каналов прямоугольного сечения коэффициенты kt можно рассчитывать по формуле (5). Результаты расчёта kt по формуле (5) приведены в табл. 2.
Среднее отклонение расчётных значений от справочных данных (Σ6t=1dt)/6 составляет 0,9%. Из данных в табл. 2 следует, что гидродинамическое сопротивление каналов прямоугольной формы можно с достаточной точностью вычислять по формуле (1) с использованием (5).
1.2в. Канал треугольного сечения. Рассмотрим семейство каналов с сечением в виде равнобедренного треугольника:
{Ωt}8t=p/9p/9 = {Ω~t × L}8t=p/9p/9,
где Ω~t — треугольник с вершинным углом, равным t радиан. Длина боковых сторон треугольника при каждом t получается из формулы (4), причём область Ω~t в данном случае является равносторонним треугольником, длины сторон которого равны 1,0.
В данном случае a = p/9, b = 8p/9, и несложно проверить, что t = p/3 (то есть в данном случае t ≠ b), поэтому в формуле (2) имеет место b ≠ 0.
Следовательно, коэффициенты kt для случая каналов треугольного сечения следует рассчитывать по формуле (2).
Результаты расчёта kt по формуле (2) для данного случая приведены в табл. 3.
Среднее отклонение расчётных значений от справочных данных (Σ6t=1dt)/6 составляет 1,0%.
Из приведённых в табл. 3 данных следует, что гидродинамическое сопротивление каналов с сечением в виде равнобедренного треугольника можно с достаточной точностью вычислять по формуле (1) с использованием (2).
1.2г. Канал с сечением в форме сектора круга. Рассмотрим следующее семейство каналов:
{Ωt}8t=p/9p/9 = {Ω~t × L}8t=p/9p/9,
где Ω~t — сектор с углом t радиан. Радиус сектора при каждом t получается из (4), причём область Ω~t в данном случае является сектором единичного радиуса с углом p/3 радиан.
В данном случае a = p/9, b = 8p/9, и несложно проверить, что t = 2 (то есть в данном случае t ≠ b), поэтому в формуле (2) b ≠ 0. Следовательно, коэффициенты kt для случая каналов такого сечения следует рассчитывать по формуле (2). Результаты расчёта kt по данной формуле приведены в табл. 4.
Среднее отклонение расчётных значений от справочных данных (Σ6t=1dt)/6 составляет 1,1%. Из приведённых в табл. 4 данных следует, что гидродинамическое сопротивление каналов с сечением в форме сектора круга можно с достаточной точностью вычислять по формуле (1) с использованием (2).
1.2д. Канал с сечением в форме равнобедренной трапеции. Рассмотрим следующее семейство каналов:
{Ωt}1,0t=0,1 = {Ω~t × L}1,0t=0,1,
где Ω~t — равнобедренная трапеция, в которой отношение высоты к её нижнему основанию равно t. Размеры основания и высоты при каждом t и при заданном угле при основании получаются из формулы (4), причём область Ω~t в данном случае является квадратом единичной площади.
В данном случае a = 0,1, b = 1,0, и несложно проверить, что t = b, поэтому в формуле (2) b = 0. Следовательно, для расчёта kt для каналов такого сечения можно использовать формулу (5).
Отметим, что в справочнике не приведены точные значения коэффициентов для каналов с сечением в форме равнобедренной трапеции, а указано лишь, что для них значения коэффициентов примерно такие же, как для каналов прямоугольной формы. Также в справочнике не указана величина угла при основании трапеции, хотя этот параметр может влиять на сопротивление канала. Расчёт коэффициентов kt был проведён для случая, когда угол при основании трапеции равен 1,47 радиан. Результаты расчётов приведены в табл. 5.
Среднее отклонение расчётных значений от справочных данных (Σ6t=1dt)/6 составляет 0,9%. Следовательно, гидродинамическое сопротивление каналов с сечением в форме равнобедренной трапеции можно с достаточной точностью вычислять по формуле (1) с использованием (5).
1.2е. Канал с сечением произвольной формы. Рассмотрим теперь канал с сечением произвольной формы:
Ω = Ω~ × L, Ω~ ⊂ R2, L ⊂ R.
Для применения описанного выше метода в данном случае перейдём к семейству каналов
{Ωt}bt=a = {Ω~t × L}bt=a,
введя следующую параметризацию: t = X1/X2, где X1 и X2 — размеры минимальной прямоугольной области, ограничивающей Ω~t, причём Ω~t = Ω~ для некоторого t. Таким образом, с каждой областью Ω~ ⊂ R2 можно сопоставить семейство {Ω~t}bt=a, где Ω~t = Ω~ для некоторого t, а остальные элементы семейства получены из Ω~t посредством масштабирования минимальной прямоугольной области, ограничивающей Ω~t. Теперь для вычисления гидродинамического сопротивления любого канала из полученного семейства {Ωt}bt=a можно применить формулы (1, 2).
Следует отметить, что применимость формул в данном случае требует подтверждения результатами натурных экспериментов. Кроме того, вопрос о классе областей Ω~, для которых применим описанный выше подход, также требует дальнейшего изучения.
2. Заключение
Результаты, полученные с помощью предложенного в данной работе метода вычисления гидродинамического сопротивления каналов хорошо согласуются с результатами натурных испытаний. При этом данный метод не требует ни специального программного обеспечения (все вычисления могут проводиться с помощью математических библиотек, находящихся в свободном доступе), ни существенных вычислительных мощностей.
Однако предлагаемый метод может быть усовершенствован в ряде аспектов, а именно: вместо собственных чисел оператора Лапласа можно использовать собственные числа оператора Стокса; возможно использование граничных условий, более точно соответствующих физике поставленной задаче; следует более строго обосновать выбор размеров канала и количества собственных чисел для расчёта по формуле (1); следует более строго определить класс областей, определяющих сечения каналов, для которых справедлива формула (2).
Следует отметить также, что предлагаемый метод может быть обобщён на случай каналов с переменным сечением. В частности, путём обобщения данного метода автором были получены гидродинамические сопротивления равномерно сужающихся и равномерно расширяющихся каналов. Данные предварительные результаты с достаточной точностью совпадают с результатами натурных экспериментов.
