Анализ адиабатного процесса расширения рабочего тела с газодинамическими потерями в открытой термодинамической системе с помощью тепловой диаграммы в T–S-координатах не полностью отражает картину изменений заторможенных и статических параметров в открытой системе, вызванную подводом внутренней теплоты, которая является результатом взаимодействия газодинамических сопротивлений с потоком. В связи с этим — для полноты картины — анализ с помощью тепловой диаграммы в координатах T–S необходимо расширить за счёт анализа того же процесса, но только с помощью диаграммы работы в Р–V-координатах.
Тепловые воздействия в адиабатном потоке рабочего тела в открытой системе, как известно, определяются теплообменом, а силовые — давлением, но в зависимости от характера задачи все они требуют учёта.
Из уравнения энергии для открытых адиабатных систем следует, что взаимодействие газодинамических сопротивлений с потоком оказывает, как известно, двоякое влияние на течение газа. Из этого уравнения также вытекает, что удельная работа, затрачиваемая на преодоление газодинамических сопротивлений δlr, влияет на изменение внешней кинетической энергии рабочего тела, то есть оказывает непосредственное механическое влияние на действительную скорость в выходном сечении потока.
Из другого уравнения можно установить, что изменение полной энергии рабочего тела в потоке определяется не только механическим влиянием газодинамических сопротивлений на поток через работу δlr, но также и термическим влиянием преобразованных в теплоту газодинамических потерь δqr, которые усваиваются рабочим телом и создают дополнительное тепловое сопротивление в канале. Механическое влияние газодинамических потерь скажется на величине внешней кинетической энергии и снижении заторможенного давления на выходе потока, термическое влияние — на изменении статических параметров и появлении теплового сопротивления, а оба вместе — на характере термодинамического процесса [5].
Поэтому рассмотрим адиабатический процесс расширения рабочего тела в потоке с помощью диаграммы работы в Р–Vкоординатах. Графическая интерпретация термодинамического процесса представляет собой изображение в координатах Р–V (рис. 1) того же процесса, что и на T–Sдиаграмме.
Анализируя процесс адиабатного расширения рабочего тела в потоке, представленный на диаграмме Р–V (рис. 1), можно выделить четыре характерных перепада давлений: ΔP*, ΔP, ΔPT и ΔPΣ, где ΔP* = P1 * – P2 * — перепад заторможенных давлений на входе и выходе; ΔP = P2 * – P2 — перепад заторможенного и статического давлений на выходе; ΔPT = P2 – PT — перепад абсолютных статических давлений в адиабатном потоке относительно его изоэнтропного уровня; PΣ = P1 * – PT — суммарный перепад давлений в изоэнтропном процессе расширения рабочего тела в потоке.
Перепад заторможенных давлений в адиабатном потоке ΔP* характеризует величину основных газодинамических потерь, возникающих в процессе взаимодействия газодинамических сопротивлений с потоком. В результате этого затрачивается работа по преодолению сопротивлений в канале (отрывные течения и др.), которая приводит к снижению как заторможенного давления на выходе потока P2 * относительно давления на входе P1 *, так и к появлению внутренней теплоты от преобразования механическая работы при T* = const P1 * – P2 * – P3 *, причём при наличии газодинамических потерь в потоке всегда будет P1 * > P2 * > P3 * (рис. 1).
Помимо этого, перепад заторможенных давлений ΔP* в адиабатном процессе расширения рабочего тела характеризует основную долю необратимой части газодинамических потерь в движущемся потоке.
На выходе потока из канала перепад заторможенного и статического давлений ΔP характеризует величину располагаемой полезной работы, которая может быть реализована в располагаемую кинетическую энергию, то есть в действительную скорость потока. Чем меньше будет перепад давлений ΔP, тем больше будут газодинамические потери при одних и тех же условиях на входе потока. Помимо этого, с точки зрения термодинамики, перепад давлений ΔP представляет собой обратимую долю изоэнтропного процесса расширения рабочего тела в потоке.
Перепад абсолютных статических давлений ΔPT соответствует разнице между статическим давлением P2 или P3 в адиабатном потоке и статическим теоретическим давлением PT в изоэнтропном потоке. Превышение статических давлений P2 или P3 в адиабатном потоке над статическим теоретически достижимым давлением в изоэнтропном потоке PT возникает из-за трения и отрывных течений при движении рабочего тела по каналу, что приводит к снижению заторможенного давления на выходе P2 * или P3 * и возникновению механической работы δlr . Работа δlr трансформируется в теплоту δqr и усваивается потоком, в результате чего увеличиваются статические параметры, такие как температура T2, давление P2 и удельный объём 2, которые характеризуют ещё и термическое воздействие газодинамических сопротивлений в канале на поток. Поэтому с увеличением перепада давлений ΔPT будет расти и результирующее суммарное изменение энтропии в адиабатном потоке ΔS (рис. 1).
Помимо этого, перепад давлений ΔPT в адиабатном процессе расширения рабочего тела характеризует меньшую долю (термическую) необратимой части газодинамических потерь в потоке.
Итак, можем записать, что необратимая часть адиабатного процесса расширения рабочего тела характеризуемая перепадом заторможенных и статических ΔPT давлений (рис. 1), будет выглядеть так:
ΔPпот = ΔP* + ΔPT = ΔPΣ – ΔP, (1)
где ΔPпот — суммарный перепад давлений, характеризующий суммарные газодинамические потери в адиабатном потоке; ΔPΣ — суммарный перепад давлений в изоэнтропном процессе расширения рабочего тела в потоке.
Суммарный перепад давления в изоэнтропном потоке ΔPΣ может быть представлен суммой перепадов давлений, состоящей из: перепада заторможенных давлений ΔP*, перепада заторможенного и статического давлений ΔPT и перепада абсолютных статических давлений в адиабатном потоке относительного изоэнтропного уровня ΔP*; или суммой перепада заторможенного и статического давлений ΔP и перепада давлений, характеризующего суммарные газодинамические потери в адиабатном потоке:
ΔPΣ = ΔP* + ΔP + ΔPT = ΔP + ΔPпот. (2)
Перепад давлений ΔPΣ в потоке характеризует как обратимую долю адиабатного процесса расширения рабочего тела, так и необратимую, образовавшуюся за счёт взаимодействия газодинамических сопротивлений с потоком.
Проведённый термодинамический анализ влияния газодинамических сопротивлений на параметры потока по давлению с помощью диаграммы работы, позволил наглядно показать и разложить на составляющие суммарные газодинамические потери ΔPпот, которые видны на диаграмме (рис. 1), — это заштрихованные участки диаграммы, как от механического взаимодействия газодинамических сопротивлений с потоком характеризуемые перепадом заторможенных давлений ΔP*, так и от термического взаимодействия характеризуемые перепадом статических давлений ΔPT.
Для установления связи параметров в движущемся потоке и определения газодинамических потерь (между выбранными контрольными сечениями 1–1 и 2–2) необходимо решить две системы уравнений, содержащих по два уравнения в изоэнтропной и адиабатной постановке:
где P1 *, P2 *, P2 и PT — соответственно, абсолютные заторможенные, статические и теоретические давления в соответствующих сечениях потока; 1*, 2*, 2 и T — удельные объёмы, соответственно, определённые по заторможенным и статическим параметрам потока; m и k — соответственно, показатели адиабатного и изоэнтропного процессов расширения рабочего тела в потоке.
Используя приведённые выражения, можно получить альтернативные зависимости, которыми можно в дальнейшем воспользоваться.
При выводе зависимостей принимаются следующие допущения: процесс расширения газа принимается адиабатическим; показатель изоэнтропного процесса расширения рабочего тела κ, удельные теплоёмкости cp и cv принимаются постоянными по потоку.
При рассмотрении течения в потоке при изотермическом, адиабатическом и политропном процессах расширения, рабочее тело принимается подчиняющимся уравнению Клапейрона. Таким образом, получить альтернативные выражения для адиабатных открытых систем можно, решая совместно приведённые выше зависимости (3–6) в различных комбинациях.
Решая совместно уравнения (3) и (4) с учётом равенства T* = const по потоку и уравнения состояния, получим:
откуда коэффициент газодинамических потерь ξ:
Решая совместно уравнения (5) и (6) с учётом равенства T* = const по потоку и уравнения состояния, получим:
где TT — абсолютная термодинамическая теоретически достижимая температура в изоэнтропном процессе расширения; T2 — абсолютная статическая температура в адиабатном процессе расширения газа в выходном сечении потока; PT — абсолютное теоретически достижимое статическое давление в изоэнтропом процессе расширения газа в потоке; P2 — абсолютное статическое давление в адиабатном процессе расширения газа в выходном сечении потока.
Из выражения (9) следует, что в качестве базовых параметров в этой зависимости можно принять статические, теоретически достижимые в изоэнтропном процессе расширения рабочего тела абсолютные давление PT и температуру TT, то есть параметры, при достижении которых выдерживается условие dS = 0 или S1 = S2 = const.
Прологарифмируем выражение (9), тогда будем иметь:
Разделим правую и левую части равенства (10) на ln(P2 */P2), получим:
Левая часть выражения (11), это суммарный коэффициент газодинамических потерь ξa, который определяется после преобразования левой части через температурные параметры, и выглядит так:
где ξa — суммарный коэффициент газодинамических потерь в выходном сечении адиабатного потока. Первый член правой части выражения (11), это коэффициент газодинамических потерь, характеризующий механическое воздействие газодинамических сопротивлений в канале на рабочее тело, приводящее к снижению заторможенного давления P2 * (рис. 1):
где ξaм — коэффициент газодинамических потерь характеризующий механическое взаимодействие газодинамических сопротивлений с потоком.
Второй член правой части выражения (11) — это коэффициент газодинамических потерь, характеризующий термическое воздействие газодинамических сопротивлений в канале на рабочее тело, приводящее к возникновению термического сопротивления в потоке и увеличению статического давления P2 в выходном сечении потока относительно изоэнтропного уровня PT:
где ξат — коэффициент газодинамических потерь характеризующий термические преобразования в потоке.
Анализируя выражение (11) можно сказать, что в процессе адиабатного расширения рабочего тела в открытой системе существует два вида термогазодинамических потерь, которые образуются в результате взаимодействия с потоком газодинамических сопротивлений в канале, классифицировать которые можно следующим образом:
- основные газодинамические потери образующиеся за счёт механического взаимодействия газодинамических сопротивлений с потоком, характеризуемые заторможенным перепадом давлений ΔP*, при адиабатном расширении рабочего тела в открытой системе (рис. 1);
- дополнительные потери (в этом же процессе) возникающие за счёт преобразования газодинамических потерь в теплоту, характеризуемую статическим перепадом давлений ΔPT, которая усваивается потоком и создаёт добавочное тепловое (термическое) сопротивление (рис. 1);
- суммарные термогазодинамические потери представляющие результат совместного влияния сопротивлений на адиабатный поток при механическом и термическом взаимодействии сопротивлений с потоком.
В связи с этим возникает необходимость отображать в расчётных зависимостях, таких как изменение энтропии ΔS и энтальпии Δi, коэффициентов газодинамических потерь ξ и расхода m, способы взаимодействия газодинамических сопротивлений с потоком — механический, термический и результирующий. Поэтому для обозначения перечисленных способов влияния газодинамических сопротивлений на параметры потока предлагается использовать нижние индексы, такие как:
- индекс «а» характеризует результирующий (механический плюс термический) способы влияния газодинамических сопротивлений на параметры адиабатного потока;
- индекс «ам» характеризует только механический способ влияния тех же сопротивлений на параметры адиабатного потока;
- индекс «ат» характеризует только термический способ влияния тех же сопротивлений на параметры адиабатного потока.
Однако нужно иметь в виду, что для определения коэффициента газодинамических потерь ξ получены и другие выражения, с помощью которых этот коэффициент может быть определён через логарифм отношения заторможенных и статического давлений зависимость (8).
На первый взгляд коэффициенты газодинамических потерь ξ, представленные зависимостями (8) и (12), должны быть равнозначны, однако в действительности они имеют различные значения в связи с тем, что один из них (12) учитывает результирующие (суммарные) термогазодинамические потери, связанные с механическим и термическим влиянием газодинамических сопротивлений, так как определяется по заторможенным и статическим температурным параметрам в адиабатном потоке с учётом теоретически достижимой температуры TT в изоэнтропном процессе расширения, поэтому коэффициент ξ, представленный зависимостью (12), приобретает индекс «α» и будет обозначаться как ξα.
Другой коэффициент ξ, представленный зависимостью (8), определяется по заторможенным и статическому давлениям в адиабатном потоке без учёта изоэнтропной базы PT, из-за чего он будет учитывать только механическое (без термического) влияние на параметры потока газодинамических сопротивлений в канале, поэтому он обозначится ξам.
Отсюда следует, что результирующий (суммарный) коэффициент газодинамических потерь в выходном сечении адиабатного потока ξa может быть представлен в виде суммы коэффициентов газодинамических потерь, полученных как при механическом взаимодействии с потоком сопротивлений в канале ξам, так и при термическом взаимодействии теплоты ξaт, возникающей от преобразования газодинамических потерь, и представляется зависимостью:
ξa = ξaм + ξaт. (15)
Таким образом, в результате проведённого анализа адиабатного процесса расширения рабочего тела в открытой системе с использованием диаграммы работы в P–V-координатах наглядно показаны заштрихованные зоны характеризующие газодинамические потери от механического и термического взаимодействия сопротивлений с потоком (рис. 1). Кроме того, с помощью полученных выражений (9), (13) и (14) показано, что газодинамические потери, характеризуемые коэффициентами ξ, по параметрам давления делятся на две части: одна характеризуется коэффициентом ξам, отражающим механическое взаимодействие сопротивлений с потоком, другая — коэффициентом ξат, отражающим тепловое взаимодействие сопротивлений с потоком.
